الفلك

حساب معدل الاضمحلال المداري

حساب معدل الاضمحلال المداري


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

نحن نعلم أن الوقت المقدر حتى يتم دمج النظام الثنائي يتم إعطاؤه بواسطة: $$ dfrac {5c ^ 5r ^ 4} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $$ ولكن ما هي معادلة تحديد معدل الانحلال ، في نوع من وحدات المسافة ، لكل وحدة زمنية؟ أيضا ، ما هي الشروط $ r $ و $ m_i $ كتبت في؟


هذا رد على طلب FasterThanLight للحصول على حل نموذج مغلق. حاولت الرد في تعليق ، لكن اتضح أنه طويل جدًا.

هل يمكننا معرفة المسافة بين النجمين الثنائيين في أي وقت t؟

من إجابة ProfRob ،

$$ frac {da} {dt} = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5a ^ 3} $$

إذا كنت تريد حلًا مغلقًا ، فيمكننا إعادة كتابة المعادلة التفاضلية أعلاه

$$ a '= C_1a ^ {- 3} $$

حيث الثابت $ C_1 = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $. إذا كانت المسافة بين النجوم الثنائية في وقت $ t = 0 دولار هو $ a_0 دولار، ومن بعد $ a (0) = a_0 $ هي القيمة الأولية. حل المعادلة التفاضلية بالقيمة الأولية هو:

$$ a (t) = (a_0 ^ 4 + 4C_1t) ^ {1/4} $$

إذن حل الشكل المغلق أو المسافة بين النجوم في الوقت t مُعطاة من خلال:

$$ a (t) = left (a_0 ^ 4- dfrac {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} t right) ^ {1/4} $$

تعديل:

يمكننا أيضًا الوصول إلى حل مغلق لـ $ a (t) $ من خلال الاعتراف بذلك $ tau a ^ 4 $، أين $ tau = dfrac {5c ^ 5} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $ هو وقت العد التنازلي للدمج ، أي أن وقت العد التنازلي ينخفض ​​مع مرور الوقت. هذا يعني بالنسبة للنظام الثنائي في $ a_0 دولار المسافة في وقت أولي $ t = 0 دولار، سوف تستغرق $ tau a_0 ^ 4 $ حان وقت الدمج. انة الوقت $ t = tau a_0 ^ 4 - tau a ^ 4 $ يصف بشكل صحيح وقتًا متزايدًا ومسافة متناقصة لفترة أولية ومسافة. حل هذه المعادلة الجبرية من أجل $ a $ لتأخذ، لتمتلك:

$$ a (t) = left (a_0 ^ 4 - frac {t} { tau} right) ^ {1/4} $$

هذا يعادل إجابتي الأخرى ، لكنه يستخدم طريقة أبسط بكثير. لقد استخدمت عن قصد نفس الترميز الذي يستخدمه ProfRob في إجابته ، لكن لا يمكنني شرح سبب اختلاف إجاباتنا.


بالنسبة للمدار الدائري ، يمكنك كتابة معدل تغير المحور شبه الرئيسي للمدار $ a $ مثل $$ frac {da} {dt} = - frac {64 G ^ 3 (m_1 + m_2) m_1m_2} {5a ^ 3c ^ 5} . $$

يمكن كتابة المكونات في الصيغة بأي وحدات تريدها ؛ قليلا بالطبع سيحدد وحدات $ دا / دينار.

إذا كنت تريد الاعتماد على الوقت من $ a (t) $, $ أوميغا (ر) $ أو حتى الفترة المدارية $ T (t) $، فهم (عن طريق التكامل البسيط) $$ a (t) = a_0 left (1 - frac {t} { tau} right) ^ {1/4} ،، $$ $$ omega (t) = omega_ {0} left (1 - frac {t} { tau} right) ^ {- 3/8} $$ $$ T = frac {2 pi} { omega} = T_0 left (1 - frac {t} { tau} right) ^ {3/8} ،، $$ أين $ tau $ هو النطاق الزمني الأصلي للدمج الذي بدأت به ، وحيث يشير الرمز المنخفض إلى القيم الموجودة في $ t = 0 دولار.


إليك طريقة واحدة للوصول إلى إجابة ProfRob خطوة بخطوة:

$$ t = dfrac {5c ^ 5r ^ 4} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $$

إذا جمعنا كل الشروط الثابتة معًا:

$$ C = dfrac {5c ^ 5} {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} $$

ثم تبدو المشكلة فجأة أبسط بكثير:

$$ t = r ^ 4 C $$

$$ frac {dt} {dr} = 4r ^ 3 C $$

$$ frac {dr} {dt} = frac {1} {4r ^ 3} frac {1} {C} $$

$ دينارا هو كم طويل سيعيش النظام إذا كان نصف قطر البداية زيادة بواسطة $ dr $. نعلم أنه إذا شاهدناه يتحلل ، فإن معدل الانخفاض لكل وحدة زمنية $ د / دينار $ ستكون سلبية ، لذلك سنضيف علامة الطرح.

الآن ضعها معًا مرة أخرى:

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {4r ^ 3} frac {1} {C} $$

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {4r ^ 3} dfrac {256G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $$

$$ frac {dr} {dt} = - frac {1} {r ^ 3} dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5} $$

$$ frac {dr} {dt} = - dfrac {64G ^ 3 (m_1m_2) (m_1 + m_2)} {5c ^ 5r ^ 3} $$

مع ثابت الجاذبية $ G = 6.674 times 10 ^ {- 11} text {m} ^ {3} text {kg} ^ {- 1} text {s} ^ {- 2} $ سرعة الضوء $ c = 2.997 times 10 ^ {8} text {m / s} $ كل جسم بكتلة شمسية $ M _ { text {Sol}} = 1.9885 times 10 ^ {30} text {kg} $ ومسافة شبه مؤثرة تبلغ مليون كيلومتر $ r = 1 مرات 10 ^ {9} text {m} $، ومن بعد C = 1.0102 مرات 10 ^ {- 20} دولار والمعدل $ dr / dt = -2.4748 مرات 10 ^ {- 8} text {s} ^ {- 1} $ أو -78 سم في السنة.


شاهد الفيديو: كيفية حساب الدرجة و معرفة الوحدات المحصلة من التقادير (شهر نوفمبر 2022).